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Explicação do cálculo de limite – princípios básicos, tipos e exemplos resolvidos

cálculo de limite

Limite descreve o comportamento de uma função matemática à medida que se aproxima de um ponto específico. Pode ser definido como o valor que a função se aproxima à medida que os valores de entrada se aproximam cada vez mais de um determinado valor. Este conceito é crucial para o cálculo e é a base para muitas outras teorias matemáticas.

O limite é essencial para compreender a continuidade, a diferenciabilidade, a integração e vários aspectos da análise matemática.

Neste blog, analisaremos os principais conceitos de limites e exploraremos várias técnicas para avaliá-los. Forneceremos muitos exemplos para uma melhor compreensão deste conceito.

Definição de Limite com sua Notação Matemática

Seja f uma função definida em algum subconjunto dos números reais, exceto possivelmente em um ponto c dentro desse subconjunto. O limite de f(x) quando x se aproxima de c é L, se para cada ε > 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x – c| < δ, então |f(x) – L| < ε.

Em termos simples, um limite refere-se ao valor que uma função ou sequência se aproxima à medida que sua entrada ou índice se aproxima de um determinado valor.

A noção de limite é:

limão x cf(x) = eu

( leia como “limite de f(x), quando x se aproxima de c é L”).

Tipos de limite

Existem vários tipos de limites usados para descrever vários conceitos e propriedades. Aqui estão alguns dos tipos comuns de limites:

  1. Limites Unilaterais

Os limites unilaterais descrevem o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de um ponto em apenas uma direção. Está dividido em dois tipos.

Limite à esquerda

Um limite à esquerda é o limite de uma função à medida que ela se aproxima de um ponto pela esquerda. Está escrito como :

limão x → c – f(x)

Limite à direita

Um limite à direita é o limite de uma função à medida que ela se aproxima de um ponto pela direita.

limão x → c + f (x)

  1. Limites bilaterais

Esses limites descrevem o comportamento de uma função à medida que a variável independente se aproxima de um ponto específico tanto do lado esquerdo quanto do lado direito.

  1. Em limites finitos

Uma função tem um limite infinito se se aproxima do infinito positivo ou negativo à medida que a entrada se aproxima de um valor específico. Isso é denotado como

limão x → c f (x) = ± ∞.

  1. Limites no infinito

Este tipo de limite descreve o comportamento de uma função conforme a entrada se aproxima do infinito positivo ou negativo.

limão x → ± f(x) = eu

Propriedades do Limite

Existem diversas regras e propriedades de limites que podem ser usadas para simplificar e avaliar limites.

Deixei lim x → c f(x) e lim x → c g(x) existir e k é qualquer constante. Então

A regra constante

O limite de uma função constante é a própria constante.

A regra da soma e diferença

O limite da adição ou subtração de duas funções equivale à adição ou subtração dos seus limites.

A regra do produto

O limite do produto de duas funções é o produto dos seus limites.

A regra do quociente

O limite do quociente de duas funções é o quociente dos seus limites. No entanto, o limite fornecido do denominador não é zero.

Regra do Poder

O limite de uma função potência é a potência do limite da função base.

Técnicas para encontrar o limite

Aqui estão alguns métodos comuns para encontrar limites:

Substituição Direta: A técnica básica é inserir o valor limite na função. Se a função for válida nesse valor, o limite é igual ao valor da função naquele ponto específico.

Factoring: Em alguns casos; a função pode ser simplificada por fatoração. Isso pode eliminar fatores comuns no numerador e no denominador, facilitando a determinação do limite.

Regra de L Hopital: Esta regra é usada quando o limite resulta em uma forma indeterminada (0/0 ou ∞/∞) . A Regra de L Hopital permite a diferenciação do numerador e do denominador para simplificar o limite.

Usando uma calculadora de limite : Para funções complexas ou ao procurar uma verificação rápida, ferramentas como a calculadora de limite da AllMath podem calcular o limite instantaneamente. Esta abordagem digital pode ajudar na verificação dupla de cálculos manuais e pode ser especialmente útil ao lidar com expressões difíceis .

Limites Comuns: Memorize os limites comuns que surgem com frequência.

  • limãox 0 (1 – cos x) / x = 1
  • limãox 0 (Sen x / x) = 1
  • limãox 0 (tan x / x) = 1
  • limãox 0 (1 + x ) (1/x) = e
  • limite x (ex ) =∞
  • lim x (ex ) = 0

Exemplos resolvidos de limite

Vejamos alguns exemplos resolvidos para esclarecer o conceito de limite.

Exemplo 1:

Encontre o limite quando x se aproxima de 3 para a função f(x) = 2x 2 – 5x + 6.

Solução:

limãox 3 (2x 2 – 5x + 6)

=limx 3 (2x 2 ) -limx 3 (5x)+limx 3 (6)

= 2 limx 3 (x 2 ) – 5 limx 3 (x)+ 6 limx 3 (1)

Aplicar o limite

=2 (3 2 ) – 5 (3)+ 6 (1)

=18 – 15 + 6

=9

Assim, limx 3 (2x 2 – 5x + 6) = 9

Exemplo 2:

Calcular limitex 1 [(x 2 – 1) / (x – 1)].

Solução:

limãox 1 [(x 2 – 1) / (x – 1)] = 0/0 (Esta é uma forma indeterminada)

∴ (x 2 – 1) = (x – 1) (x + 1)

limãox 1 [(x 2 – 1) / (x – 1)] ⇒ limitex 1 [(x – 1)(x + 1) / (x – 1)]

Como (x – 1) será cancelado

limãox 1 [(x 2 – 1) / (x – 1)] = limitex 1 (x + 1)

= 1 + 1 = 2

∴lim _x 1 [(x 2 – 1) / (x – 1)] = 2

Exemplo 3:

Avaliar limitex 0 [(e x – 1)/(x)]

Solução:

limãox 0 [(e x – 1)/(x)] (forneça forma indeterminada após aplicar limite direto)

Aplique a regra de L Hopital tomando as derivadas do numerador e do denominador em relação a x:

[( d( e x – 1)/dx) / (d(x)/dx)] = (e x – 0) / 1

limãox 0 [(e x – 1)/(x)] = limitex 0 e x = e 0

= 1

Portanto, o limite de (e x – 1)/x quando x se aproxima de 0 é 1.

Confira também sobre: a importância da segurança cibernética.

Resumo

Exploramos o conceito fundamental de limites em cálculo e discutimos vários tipos de limites e técnicas para sua avaliação. Também fornecemos exemplos para ilustrar como calcular limites em diferentes cenários.

Compreender os limites é crucial para vários aspectos da análise matemática, incluindo continuidade, diferenciabilidade e integração. Ao compreender os conceitos e técnicas apresentados aqui, você poderá navegar no mundo do cálculo e da análise matemática com confiança.

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